De standaarddeviatie of standaarddeviatie is een maatstaf die informatie geeft over de gemiddelde spreiding van een variabele. De standaarddeviatie is altijd groter dan of gelijk aan nul.
Om dit concept te begrijpen, moeten we 2 fundamentele concepten analyseren.
- Wiskundige verwachting, verwachte waarde of gemiddelde: Het is het gemiddelde van onze gegevensreeks.
- Afwijking: De afwijking is de scheiding die bestaat tussen een willekeurige waarde van de reeks en het gemiddelde.
Nu we deze twee concepten begrijpen, wordt de standaarddeviatie op dezelfde manier berekend als het gemiddelde. Maar afwijkingen als waarden nemen. En hoewel deze redenering intuïtief en logisch is, heeft ze een fout die we gaan controleren met de volgende grafiek.
In de vorige afbeelding hebben we 6 waarnemingen, dat wil zeggen N = 6. Het gemiddelde van de waarnemingen wordt weergegeven door de zwarte lijn in het midden van de grafiek en is 3. We zullen door afwijking het verschil begrijpen dat bestaat tussen alle van de waarnemingen en de zwarte lijn. We hebben dus 6 afwijkingen.
- Afwijking -> (2-3) = -1
- Afwijking -> (4-3) = 1
- Afwijking -> (2-3) = -1
- Afwijking -> (4-3) = 1
- Afwijking -> (2-3) = -1
- Afwijking -> (4-3) = 1
Zoals we kunnen zien als we de 6 afwijkingen optellen en delen door N (6 waarnemingen), is het resultaat nul. De logica zou zijn dat de gemiddelde afwijking 1 is. Maar een wiskundig kenmerk van het gemiddelde met betrekking tot de waarden waaruit het bestaat, is precies dat de som van de afwijkingen nul is. Hoe lossen we dit op? De afwijkingen kwadrateren
RangFormules voor het berekenen van de standaarddeviatie
De eerste is door de afwijkingen te kwadrateren, te delen door het totale aantal waarnemingen en tenslotte de vierkantswortel te nemen om het kwadraat ongedaan te maken, zodat:
Als alternatief zou er een andere manier zijn om het te berekenen. Het zou een gemiddelde zijn van de som van de absolute waarden van de afwijkingen. Dat wil zeggen, pas de volgende formule toe:
Deze formule is echter geen alternatief voor de standaarddeviatie omdat deze andere resultaten geeft. Eigenlijk is de bovenstaande formule de afwijking van het gemiddelde. De standaard- of standaarddeviatie en de afwijking van het gemiddelde hebben overeenkomsten, maar zijn niet hetzelfde. Deze laatste vorm staat bekend als de gemiddelde afwijking.
Voorbeeld berekening standaarddeviatie
We gaan na hoe, met een van de twee gepresenteerde formules, het resultaat van de standaarddeviatie of gemiddelde deviatie hetzelfde is.
Volgens de variantieformule (vierkantswortel):
Volgens de absolute waarde formule:
Precies zoals de intuïtieve berekening dicteerde. De gemiddelde afwijking is 1. Maar zeiden we niet dat de formule voor de absolute waarde en de standaarddeviatie verschillende waarden gaf? Ja, maar er is een uitzondering. Het enige geval waarin de standaarddeviatie en de afwijking van het gemiddelde hetzelfde resultaat geven, is het geval waarin alle afwijkingen gelijk zijn aan 1.
De relatie van de standaarddeviatie tot de variantie
Kortom, de variantie is niets meer dan de standaarddeviatie in het kwadraat. Of wat op hetzelfde neerkomt, de standaarddeviatie is de vierkantswortel van de variantie. Ze zijn als volgt gerelateerd:
Na deze afbeelding is het duidelijk dat de hele formule binnen de vierkantswortel de variantie is. De reden dat u moet begrijpen dat dit deel bekend staat als de variantie, is dat het in andere formules wordt gebruikt om andere metingen te berekenen. Dus hoewel de standaarddeviatie intuïtiever is om resultaten te interpreteren, is het absoluut noodzakelijk hoe de variantie wordt berekend.