De tetraëder is een veelvlak met vier vlakken, zes randen en vier hoekpunten. Het is een driedimensionale figuur gevormd door verschillende polygonen die in dit geval driehoeken zijn.
De tetraëder wordt gekenmerkt door de eenvoudigste van de veelvlakken en de enige die minder dan vijf zijden heeft.
Het is vermeldenswaard dat een tetraëder een piramide is met een driehoekige basis.
Elementen van een tetraëder
De elementen van een tetraëder, die ons leiden uit de onderstaande figuur, zijn:
- gezichten: Het zijn de zijden van de tetraëder die, zoals we al zeiden, driehoeken zijn (ABC, ADC, ADB en BDC.
- Randen: Het is de vereniging van twee gezichten: AB, AC, AD, BC, CD en DB.
- hoekpunten: Het zijn die punten waar de randen samenkomen: A, B, C en D.
- Tweevlakshoek: Het wordt gevormd door de vereniging van twee gezichten.
- Veelvlak hoek: Het is er een die wordt gevormd door de zijden die samenvallen in een enkel hoekpunt.
Oppervlakte en volume van de tetraëder
Om de kenmerken van de tetraëder te kennen, kunnen we berekenen:
- Oppervlakte: Het gebied van de vier driehoeken waaruit het veelvlak bestaat, zou moeten worden opgeteld. In die zin moeten we onthouden dat de oppervlakte van een driehoek wordt berekend door de basis te vermenigvuldigen met de hoogte en te delen door 2 (A = bxh / 2)
- Volume: Het zou worden berekend met de volgende formule:
In de formule is b een willekeurig vlak van het veelvlak en is h de hoogte of het segment dat b verbindt met zijn tegenoverliggende hoekpunt. Bovendien staat de hoogte loodrecht op de basis (ze vormen een rechte hoek of die 90º meet).
regelmatige tetraëder
Wanneer alle driehoeken waaruit de tetraëder bestaat gelijkzijdige driehoeken zijn die identiek zijn aan elkaar, worden we geconfronteerd met een regelmatige tetraëder. Dat wil zeggen, het zou een geval zijn van een regelmatig veelvlak, waarvan de gezichten allemaal hetzelfde zijn en elk ook een regelmatige veelhoek is.
Op dit punt moeten we onthouden dat een regelmatige veelhoek er een is waarvan alle zijden dezelfde lengte hebben en ook hun binnenhoeken allemaal gelijk zijn.
Bedenk dan dat de oppervlakte (A) van een gelijkzijdige driehoek kan worden berekend met behulp van de formule van Heron, waarbij a, b en c de afmetingen van de zijden zijn en s de halve omtrek is, de omtrek (P) tussen twee.
Dan ja:
P = a + b + c = a + a + a = 3a
We moeten:
Omdat er vier driehoeken zijn, vermenigvuldigen we het gebied van elk met 4 om het gebied van de tetraëder (AT) te vinden:
Aan de andere kant, als we het volume willen berekenen, moeten we de hoogte van het veelvlak vinden. Om dit te doen, laten we ons leiden door de volgende afbeelding:
Eerst berekenen we de hoogte (h) van de basis (de driehoek ABC in dit voorbeeld), het segment EB. Hoek X meet 90º, dus aan de stelling van Pythagoras moet worden voldaan, en de hypotenusa (BA), die a meet (de lengte van alle randen in deze tetraëder), is gelijk aan de som van elk kwadraat van elk been. Een van de poten is EA, het is het midden van het segment AC (E snijdt de zijkant in twee gelijke delen) en meet a / 2. Ook is het tweede been de hoogte van de basis (h of EB).
Dan, door de eigenschap van de regelmatige tetraëder, waarbij F het middelpunt van de driehoek is, zal EF een derde zijn van het segment EB, dat wil zeggen een derde van h.
De volgende stap, om de hoogte van de tetraëder (DF) te vinden, kunnen we de stelling van Pythagoras opnieuw toepassen omdat, aangezien de hoogte loodrecht is, de hoek Y goed is (hij meet 90º).
Kijkend naar de driehoek DEF, is de hypotenusa DE, wat de hoogte is van de driehoek ADC en aangezien alle vlakken gelijk zijn, is het dezelfde hoogte h van de driehoek ABC. Op zijn beurt is één been de hoogte van de tetraëder (DF), die we ht zullen noemen, en het andere been is het segment EF dat we al hebben berekend. Daarom:
Ten slotte, om het volume van de tetraëder (V) te vinden, zoals we eerder hebben uitgelegd, vermenigvuldigen we de hoogte van de figuur (ht) met het gebied van de basis (A) dat hierboven is berekend, en delen we deze door drie:
voorbeeld van tetraëder
Ervan uitgaande dat een tetraëder regelmatig is en dat elke zijde van zijn vlakken 20 meter is. Wat is de oppervlakte (AT) en het volume (V) van de figuur?
