De Japanse wiskundige Kiyoshi Ito sprak in 1951 de kettingregel van de stochastische calculus uit en maakte daarmee het beroemde motto bekend dat zijn naam draagt.
Stochastische calculus definieert de tegenhanger van de deterministische Newton-Leibniz calculus voor willekeurige functies.
In feite is Ito's stochastische calculus een van de meest bruikbare instrumenten in de moderne fi nanciële wiskunde, waarop vrijwel alle economische theorie en continue fi nanciële analyse berust.
Ito's motto in financiën
Meer specifiek verwijst de term stochastisch in de aandelenhandel naar schommelingen in slotkoersen. Met andere woorden, handelaren gebruiken stochastische analyse om te beslissen wanneer ze effecten moeten kopen en verkopen.
Uw veronderstelling is dat wanneer de huidige slotkoers van een aandeel dicht bij de vorige lage of hoge prijs ligt, de prijs van de volgende dag niet drastisch hoger of lager zal zijn.
Vanuit dit perspectief wordt het motto van Ito vaak gebruikt om het stochastische proces af te leiden, gevolgd door de prijs van een afgeleid effect. Als de onderliggende waarde bijvoorbeeld (de onderliggende waarde is de bron waaruit de waarde van het financiële instrument wordt afgeleid) de Brownse geometrische beweging volgt, dan toont het Japanse motto aan dat een afgeleid effect - waarvan de prijs een functie is van de onderliggende prijs van het actief en van tijd - volgt ook de Brownse geometrische beweging.
Brownse beweging en het motto van Ito
Voor een beter begrip van deze theorie moeten we ons eerst herinneren wat Brownse beweging is: het is de willekeurige verplaatsing (toevallig) die wordt waargenomen in sommige microscopisch kleine deeltjes wanneer ze zich in een vloeibaar medium bevinden, in een vloeistof.
Het was de Schot Robert Brown (aan wie hij zijn naam dankt), de bioloog die het fenomeen in 1827 ontdekte, maar zijn wiskundige beschrijving werd uitgewerkt door Albert Einstein, hoewel vele jaren later, in 1905. beroemde Nobel-Duitser opende de deuren van de atoomtheorie en initieerde het gebied van statistische fysica.
Dat gezegd hebbende, wordt de relatie van het Brownse principe met het lemma van Ito als volgt uitgelegd → Als twee waarden dezelfde risicobron hebben, kan een geschikte combinatie van de twee waarden dat risico elimineren; Zo zijn er in principe financiële derivaten gecreëerd om deze risico's te beperken.
Bovendien leidde dit resultaat tot de ontwikkeling van het Black-Scholes-Merton-wiskundig model (het eerste complete analytische voorbeeld om opties te beoordelen) en tal van moderne dekkingstheorieën en toepassingen.
