De afstand tussen twee punten met dimensie R in de ruimte is de toepassing van de vierkantswortel op de vector gevormd door die geordende punten.
Met andere woorden, de afstand tussen twee punten in de ruimte is de modulus van de vector gevormd door die punten.
De afstand tussen twee punten is niets meer dan de module van de vector gevormd door de gegeven punten. Zodra de modulus van de vector is berekend, hebben we al de afstand tussen de twee punten.
Formule
Gezien de volgende twee punten:
Dan is de afstand tussen deze twee punten de module van de vector die ze vormen:
Daarom is de modulus van deze vector de afstand tussen deze twee punten:
De lengte van de wortel hangt af van het aantal dimensies dat de punten hebben. Als het slechts tweedimensionale punten zijn, zullen er slechts twee termen in de wortel zijn. Aan de andere kant, als de punten 6 dimensies hebben, dan zullen er 6 elementen in de wortel zijn.
Er wordt gezegd dat de punten geordend moeten worden omdat in vectoren, net als in matrices, de volgorde van de factoren er toe doet en cruciaal is voor het correct oplossen van problemen. Een vector die van punt B naar punt C gaat, is niet hetzelfde als een andere vector die van punt C naar punt B gaat.
schematisch:
Wat de twee vorige vectoren delen, is de afstand: zowel vector BC als vector CB houden dezelfde afstand tussen hun punten. Met andere woorden, ze hebben dezelfde module.
Dit komt omdat het verschil van de twee vectoren alleen het teken van hun coördinaten is. Aangezien de module het kwadraat van de coördinaten van de vector omvat, produceert het hetzelfde effect alsof we de absolute waarde zouden toepassen. Dit is in feite de reden waarom we de module van een vector aangeven met de twee parallelle lijnen:
Vervolgens wordt de wortel toegepast om het effect van het kwadraat van de componenten te verwijderen en terug te keren naar dezelfde eenheden.
Afstand in analytische meetkunde en in werkelijkheid
Wanneer we afstanden in analytische meetkunde moeten berekenen, kunnen we onszelf helpen met echte voorbeelden. Als ons bijvoorbeeld wordt gevraagd om de afstand tussen twee punten te berekenen, zoals in dit geval, kunnen we onszelf voorstellen als het startpunt (punt B) en een object als het eindpunt (punt C). We kunnen die afstand dus meten door de absolute waarde tussen het ene punt en het andere af te trekken. Met andere meer technische woorden, bereken de modulus.
We zullen zien dat er van onze positie naar het object en van het object naar ons dezelfde afstand zal zijn. Bovendien zal die afstand altijd positief zijn, of deze nu 0 of groter is. Het kan zijn dat we het object vasthouden en daarom is die afstand 0, of dat het objectief ver weg is, dus een positieve afstand.
Voorbeeld van afstand tussen twee punten
Bereken de afstand tussen de volgende punten:
