De stelling van Gauss-Markov is een reeks aannames waaraan een OLS-schatter (Ordinary Least Squares) moet voldoen om als ELIO (Optimal Linear Unbiased Estimator) te worden beschouwd. ENDe stelling van Gauss-Markov is geformuleerd door Carl Friederich Gauss en Andrei Markov.
Carl Friederich Gauss en Andréi Márkov hebben enkele aannames gedaan zodat een OLS-schatter ELIO zou kunnen worden.
Als aan deze 5 veronderstellingen is voldaan, kunnen we bevestigen dat de schatter degene is met de minimale variantie (meest nauwkeurige) van alle lineaire en zuivere schatters. In het geval dat een van de aannames van de eerste drie faalt (lineariteit, nulgemiddelde strikte exogeniteit of geen perfecte multicollineariteit), is de OLS-schatter niet langer onbevooroordeeld. Als slechts 4 of 5 falen (homoscedasticiteit en geen autocorrelatie), is de schatter nog steeds lineair en onbevooroordeeld, maar niet langer de meest nauwkeurige. Samenvattend stelt de stelling van Gauss-Markov dat:
- Onder aannames 1, 2 en 3 is de OLS-schatter lineair en onbevooroordeeld. Nu, niet zolang aan de eerste drie veronderstellingen wordt voldaan, kan worden gegarandeerd dat de schatter onbevooroordeeld is. Om ervoor te zorgen dat de schatter consistent is, moeten we een grote steekproef hebben, hoe meer hoe beter.
- Onder aannames 1, 2, 3, 4 en 5 is de OLS-schatter lineair, onbevooroordeeld en optimaal (ELIO).
Aannames van de stelling van Gauss-Markov
Concreet zijn er 5 aannames:
1. Lineair model in de parameters
Het is een vrij flexibele veronderstelling. Het maakt het mogelijk om functies van de variabelen van belang te gebruiken.
2. Null mean en strikte exogeniteit
Het houdt in dat de gemiddelde waarde van de fout die afhankelijk is van verklaringen gelijk is aan de onvoorwaardelijke verwachte waarde en gelijk is aan nul. Bovendien vereist strikte exogeniteit dat modelfouten niet worden gecorreleerd met waarnemingen.
Null betekent:
Strikte exogeniteit:
Null mean en strikte exogeniteit mislukken als:
- Het model is slecht gespecificeerd (oa weglating van relevante variabelen).
- Er zijn meetfouten in de variabelen (de gegevens zijn niet beoordeeld).
- In tijdreeksen faalt strikte exogeniteit in vertraagde endogeniteitsmodellen (hoewel gelijktijdige exogeniteit kan bestaan) en in gevallen waar er feedback-effecten zijn.
In cross-sectionele data is het veel gemakkelijker om de aanname van exogeniteit te bereiken dan in het geval van tijdreeksen.
3. Geen exacte multicollineariteit
In de steekproef is geen van de verklarende variabelen constant. Er zijn geen exacte lineaire relaties tussen verklarende variabelen. Het sluit een (niet perfecte) correlatie tussen de variabelen niet uit. Volgens Gauss en Markov, wanneer een model exacte multicollineariteit heeft, is dit meestal te wijten aan een fout van een analist.
4. Homoscedasticiteit
De variantie van de fout, en dus van Y, is onafhankelijk van de verklarende waarden en bovendien de variantie van de constante fout. Wiskundig wordt het uitgedrukt als:
Hier is een reeks gegevens met homoscedastisch uiterlijk.
5. Geen autocorrelatie
De fouttermen van twee verschillende waarnemingen die afhankelijk zijn van X zijn niet gerelateerd. Als de steekproef willekeurig is, is er geen autocorrelatie.
Waar ik een andere waarde moet hebben dan h. Als de steekproef willekeurig is, zijn de gegevens en de waarnemingsfouten "i" en "h" onafhankelijk voor elk paar waarnemingen "i" en "h".
