De term concaaf wordt gebruikt om een oppervlak te beschrijven dat een binnenwaartse kromming heeft, waarbij het centrale deel het meest verzonken of ingedrukt is.
Daarom zeggen we dat een heuvel of een obstakel zoals dat op de weg te zien is om de snelheid te beperken, hol is.
Evenzo is het mogelijk om te analyseren of er geometrische figuren zijn die ook hol zijn. Een concave curve is er bijvoorbeeld een met een omgekeerde U-vorm. Een manier om gemakkelijk te onthouden hoe een holle functie eruitziet, is een droevig gezicht.
Hoewel het gebruik dat we van de concaafheid hebben gemaakt in relatie tot een kromme is, is de waarheid dat het ook van toepassing is op wiskundige functies en veelhoeken, zoals we later zullen zien.
Hoe weet je of een functie hol is?
Als de tweede afgeleide van een functie op een punt kleiner is dan nul, dan is de functie op dat punt concaaf.
Bovenstaande kan als volgt worden uitgedrukt:
f »(x) <0
We hebben bijvoorbeeld de functie f (x) = -x2 + 2x + 5. De eerste afgeleide is f '(x) = -2x +2 en de tweede afgeleide is f »(x) = -2. Daarom is de functie f (x) = x2 + x + 3 is concaaf voor elke waarde van x, zoals we in de onderstaande grafiek zien, die een parabool is:
Laten we ons nu deze andere functie voorstellen f (x) = x3-5x2 +7. De eerste afgeleide f '(x) = 3x2 -10x en zijn tweede afgeleide f »(x) = 6x -10. Zodra we de tweede afgeleide hebben berekend, moeten we controleren voor welke waarden van x de functie convex is.
Dus stellen we de tweede afgeleide gelijk aan 0:
f »(x) = 6x-10 = 0
6x = 10
x = 1,67
Daarom is de functie concaaf wanneer x kleiner is dan 1,67, aangezien de tweede afgeleide van de vergelijking negatief is. We kunnen dit controleren door verschillende waarden van x te vervangen. Evenzo is de functie convex wanneer x groter is dan 1,67, zoals we in de onderstaande afbeelding kunnen zien:
concave veelhoek
Een concave veelhoek is een veelhoek waarbij, om twee van zijn punten te verbinden, een rechte lijn moet worden getrokken die buiten de figuur ligt (een buitendiagonaal). Ook is ten minste één van de binnenhoeken groter dan 180º. Dit is bijvoorbeeld het geval bij een concave vierhoek zoals we hieronder zien:
Het tegenovergestelde van een concave veelhoek is een convexe. Dit is de hoek waar alle binnenhoeken kleiner zijn dan 180º en om twee willekeurige punten in de figuur te verbinden, kan een rechte lijn worden getrokken die binnen de veelhoek blijft.