De Bernoulli-verdeling is een theoretisch model dat wordt gebruikt om een discrete willekeurige variabele weer te geven die slechts kan eindigen in twee elkaar uitsluitende resultaten.
Aanbevolen artikelen: steekproefruimte, Bernoulli-verdeling en de wet van Laplace.
Bernoulli voorbeeldli
We gaan ervan uit dat we erg fan zijn van een renner in een wielerwedstrijd waarin slechts twee renners strijden. We willen wedden dat de makelaar wint.
Dus als je wint, is het een "succes" resultaat en als je verliest, is het een "geen succes" resultaat. schematisch:
We hebben dit voorbeeld behandeld als een dichotoom geval. Dat wil zeggen, er zijn slechts twee mogelijke uitkomsten (om de situatie te vereenvoudigen). In de theoretische boeken vinden we het typische voorbeeld van het opgooien van een niet-getructe munt die bestaat uit het verkrijgen van kop of munt. Aangezien er geen mogelijke uitkomsten meer zijn, wordt het verkrijgen van de parameter p elementair.
In ons voorbeeld van een makelaar hadden we ook "niet succesvol" kunnen beschouwen als het verkrijgen van een andere positie dan de eerste plaats. Dan zou de parameter p veranderen en zou het het aantal keren zijn dat de makelaar voor het eerst kan worden gedeeld door het aantal totale posities. schematisch:
Hier lijkt de parameter p in eerste instantie niet erg voor de hand liggend, maar het is slechts een kwestie van de wet van Laplace toe te passen.
We gaan ervan uit dat er slechts 10 posities zijn waarin de loper er maar één in de race kan krijgen. Dan,
Oefening
Bereken de loperverdelingsfunctie in een wedstrijd met 10 lopers.
Bernoulli-verdelingsfunctie
- Nadering.
We definiëren de twee waarden die een willekeurige variabele die een Bernoulli-verdeling volgt, kan aannemen.
Z = 1 als de loper de wedstrijd wint = 1e plaats = SUCCES.
Z = 0 als de loper de wedstrijd verliest = niet 1e plaats = NIET SUCCESVOL.
- Toewijzing en berekening van kansen.
Nadat we de Z-waarden hebben gedefinieerd, kennen we de kansen van het resultaat van het experiment toe:
Hierboven in het voorbeeld hebben we de kansen al berekend met behulp van de wet van Laplace. Het resultaat was dat p = 1/10 en (1-p) = 0,9.
- Berekening van de verdelingsfunctie.
Nu hoeven we alleen de vorige variabelen in de formule van de verdelingsfunctie te vervangen.
We kunnen zien dat de vorige uitdrukkingen ook op deze manier kunnen worden uitgedrukt:
We zien dat op de een of andere manier de kans op succes, dat wil zeggen de kans dat de loper de wedstrijd wint, altijd p = 1/10 zal zijn en de kans op geen succes, dat wil zeggen de kans dat hij verliest. de competitie zal ook altijd (1-p) = 9/10 zijn.
De loper volgt dus een Bernoulli-verdeling met kans p = 0,1:
